哈佛大学丘成桐教授系统阐述“数学中的真与美”

【中美创新时报波士顿2月22日讯】（记者温友平）在美东时间2021年2月20日举办的旅美科协波士顿分会2021年会上，哈佛大学丘成桐教授作了题为“数学中的真与美”主题演讲。丘成桐教授认为，数学之为学，有其独特之处，它本身是寻求自然界真相的一门科学，但数学家也如文学家般天马行空，凭爱好而创作，故此数学可谓是人文科学和自然科学的桥梁。在专题讲座中，他多处引用中国古代文学的经典诗句来对历史上伟大的数学家以及自身致力于数学的研究成果进行形象的文学化感性的描述，让听众对于深奥且抽象的数学研究理论和方法所呈现出来的“真与美”有了深入浅出的生动理解。

丘成桐教授指出，从古到今，无论是科技、数学或人文科学，内容愈来愈丰富，分支也愈来愈多。考其原因，一方面是由于工具愈来愈多，能够发现不同现象的能力也比以前大得多，一方面全世界的人口大量增长，不同种族、不同宗教、不同习俗的人在互相交流后，不同观点的学问得到融会贯通，迸出火花，从而产生新的学问。

丘成桐教授强调，数学之为学，有其独特之处。它本身是寻求自然界真相 的一门科学，但数学家也如文学家般天马行空，凭爱好而创 作，故此数学可谓是人文科学和自然科学的桥梁。数学家研究大自然所提供的一切素材，寻找它们共同的规律，并用数学的方法表达出来。数学家认为数字、几何图形和各种有意义的规律都是自然界的一部分，并希望用简洁的数学语言将这些自然现象的本质表现出来。

文化修养对于数学家的研究起着决定性作用

丘成桐教授介绍说，数学是一门公理化的科学，所有命题必须由三断论证的逻辑方法推导出来，但这只是数学的形式，而不是数学的精髓。大部分数学著作枯燥乏味，而有些却令人叹为观止，其中的区别在哪里呢？对此，他认为，其主要差别就在于文化修养，文化修养对于数学家的研究方向及其最终成果将起到决定性的作用。

丘成桐教授分析说，大略言之，数学家以其对大自然感受的深刻程度，来决定研究的方向。这种感受既有其客观性，也有其主观性，后者则取决于个人的气质。气质与文化修养有关，无论是选择悬而未决的难题，或者创造新的方向，文化修养皆起着关键性的作用。文化修养是以数学的功夫为基础，自然科学为辅，但是深厚的人文知识也极为要紧。因为人文知识也致力于描述心灵对大自然的感受，所以司马迁写史记除了“通古今之变”外，也要“究天人之际”。数学家要将天文历史融合在一起。

丘成桐教授介绍说，历代的大数学家如阿基米德、牛顿，莫不以自然为宗，见物象而思数学之所出，即有微积分的创作；费马和欧拉对变分法的开创性发明也是由于探索自然界的现象而引起的；近代几何学的创始人高斯认为几何和物理不可分。

而对于几何学的研究正是丘成桐教授的最大贡献所在。丘成桐教授指出，20 世纪几何学的发展，则因物理学上重要的突破而屡次改变其航道。当狄拉克把狭义相对论用到量子化的电子运动理论时，发现了狄拉克方程，以后的发展连狄拉克本人也叹为观止，认为他的方程比他的想象来得美妙，这个方程在近代几何的发展中起着关键性的作用。

丘成桐教授进一步指出，我们对旋子的描述缺乏直观的几何感觉，但它出于自然，自然界赋予几何的威力可说是无微不至的。广义相对论提出了场方程，它的几何结构成为几何学家梦寐以求的对象，因为它能赋予空间一个调和而完美的结构。丘成桐教授感叹说：“我研究这种几何结构垂三十年，时而迷惘，时而兴奋，自觉同《诗经》、《楚辞》的作者，或晋朝的陶渊明一样，与大自然浑为一体，自得其趣。”

数学的文采就在于捕捉大自然的真和美

丘成桐教授指出，捕捉大自然的真和美，实远胜于一切人为的造作，正如《文心雕 龙》说的: “云霞雕色，有踰画工之妙。草木菁华，无待锦匠之奇，夫岂外饰，盖自然耳 ”。

在捕捉大自然的真和美的过程中，丘成桐教授有一番深刻的体验。丘成桐教授介绍说，在空间上是否存在满足引力场方程的几何结构是一个极为重要的物理问题，它也逐渐地变成几何中伟大的问题。尽管其他几何学家都不相信它存在，但是丘成桐教授却锲而不舍，不分昼夜地去研究它，就如屈原所说：“亦余心之所善兮，虽九死其犹未悔。”

于是，丘成桐教授花了五年工夫，终于找到了具有超对称的引力场结构，并将它创造成数学上的重要工具。丘成桐教授说，当时的心境，可以用以下两诗句来描述：“落花人独立，微雨燕双飞。 ”

因此，丘成桐教授认为，数学的文采，表现于简洁，寥寥数语，便能道出不同现象的法则，甚至在自然界中发挥作用，这就是数学优雅美丽的地方。

丘成桐教授还介绍说，他的老师陈省身先生创作的陈氏类，就文采斐然，令人赞叹。它在扭曲的空间中找到简洁的不变量。在现象界中成为物理学界求量子化的主要工具，可谓是描述大自然美丽的诗篇，直如陶渊明“采菊东篱下，悠然见南山”的意境。

丘成桐教授总结说：“从欧氏几何的公理化，到笛卡儿创立的解析几何，到牛顿、莱布尼茨的微积分，到高斯、黎曼创立的内蕴几何，一直到与物理学水乳相融的近代几何，都以简洁而富于变化为宗，其文采绝不逊色于任何一个文学创作。它们轫生的时代与文艺兴起的时代相同，绝对不是巧合。”

丘成桐教授还说：“数学家在开创新的数学想法的时候，可以看到高雅的文采和崭新的风格。例如欧几里得证明存在无穷多个素数，开创反证法的先河。高斯研究十七边形的对称群，使伽罗瓦群成为数论的骨干。这些研究异军突起，论断华茂，使人想起五言诗的始祖苏李唱和诗与词的始祖李太白的《忆秦娥》。”

数理与人文有许多共通的地方 

丘成桐教授认为数理与人文有许多共通的地方。他举例说，文学家和科学家都想构造一个完美的图画，尽管每个作者有不同的手法，但是文学家和科学家有类似的地方。

丘成桐教授介绍说，狄拉克在完成他的方程后，他说他的方程比他自己更有深度，因为它优美地描述了基本粒子的性质，并在实验室中得到证明，有些性质是狄拉克在创造这个方程前没有办法想象的。这是科学创新中产生的一个奇妙的现象，我们用以了解真理的工具往往会带领我们向前，不断地向前摸索！丘成桐还指出，将一个问题或现象完美化，然后将完美化后的结果应用到新的数学理论，来解释新的现象，这是数学家的惯用手法，这与文学家有很多相似的地方，只不过文学家用这种手法来表达他们的感情罢了。

丘成桐教授还充分结合中国古代文学的创作实践作了进一步阐述。他举例说，在中国古代有很多传说，很多是凭想象，将得到的一些知识，循当时作者或当政者的需要而完成一些著作，所以我们看到东汉刘向父子作伪经，也看到山海经的写作，夸大地描述很多无法证明的事件。中国诗词也有不少的例子。例如，李商隐和李白就创作了“锦瑟无端五十弦”和“白发三千丈”这两句夸大的诗句。在明清的传奇小说里，这种写法更加流行，西游记里面描述的很多事情只有很少部分是事实，三国演义里孔明借东风的事是作者为了夸大诸葛亮的能力而写出来的。

丘成桐教授评价说：“文学家为了欣赏现象或者舒解情怀而夸大而完美化，但数学家却为了了解现象而构建完美的背景。我们在现象界可能看不到数学家虚拟结构的背景，但正如数学家创造虚数的过程一样，这些虚拟的背景却有能力来解释自然界的奇妙现象，在数学家的眼中，这些虚拟背景，往往在现象界中呼之欲出，对很多数学家来说，虚数和圆球的观念都可以看作自然界的一部分。”

丘成桐教授认为，有些时候，数学家利用几千页纸的理论来将一些模糊不清的具体现象用极度抽象的方法去统一、去描述、去解释。这是数学家追求完美化的极致，值得惊奇的是，这些抽象的方法居然可以解决一些极为重要的具体问题，最出名的例子就是格罗滕迪克(Alexandre Grothendieck)在韦伊猜想上的伟大工作。

丘成桐教授说：“近代数学家在数学不同的分支取得巨大的成果，与文学家的手段极为类似。所以我说好的数学家最好有人文的训练，从变化多姿的人生和大自然界得到灵感来将我们的科学和数学完美化，而不是禁锢自己的脚步和眼光，只跟着前人的著作，做小量的改进，就以为自己是一个大学者。”

中国数学家太注重应用不在乎数学的完美化

丘成桐教授作为世界著名的数学家，他对世界历史上数学发展研究尤为深入。通过深入研究与以及自身实践，丘成桐教授认为，中国数学家太注重应用，不在乎数学严格的推导，更不在乎数学的完美化，到了明清时期，中国数学家实在无法跟文艺复兴时期的数学家比拟。

丘成桐教授指出：“晚清一代，数学更是不行，没有原创性！可能是受到乾嘉考证的影响，大多好的数学家跑去考证九章算术和唐宋的数学著作，不做原创性的工作。和同一个时代，文艺复兴以后的意大利、英国、 德法的学者不断尝试的态度迥异。找寻原创性的数学思想，影响了牛顿力学，因此产生了多次的工业革命。”

丘成桐教授认为：“到今天，中国的理论科学家在原创性方面还是比不上世界最先进的水准，我想一个重要的原因是我们的科学家在人文方面的修养还是不够，对自然界的真和美感情不够丰富！这种感情对科学家和文学家说，其实是共通的。我们中华民族是一个富有感情和富有深度的民族。上述的文学家、诗人、小说家的作品，比诸全世界，都不遑多让!”

丘成桐教授指出，应该从青少年一代就要着力培养丰富的人文素养以及探究科学的浓厚兴趣。他认为，当一个年轻人对自己要学习的学问有浓厚的感情后，学习任何学问都会轻而易举！至于数学和语文并重，则是先进国家（如美国等）一向认为是理所当然的。美国比较好的大学收学生时都看SAT的成绩，最重要部分，考的就是语文和数学。

丘成桐教授还指出，除了考试以外，美国好的中学也鼓励孩子多元化，尽量涉猎包括人文和数理的科目。美国有很多高质量的科普杂志，销量往往都在百万本以上。而中国好的科普不多，销量也少得可怜，从这点就可以看到中西文化的异同，希望中国会逐渐改进!

丘成桐最后还强调说：“在科研的创新上，我们要用真挚纯朴的感情去找寻大自然的美丽、大自然的真实。我们都感谢以前的大师，我们在他们的肩膀上向前摸索，但我们也知道他们的道路不是唯一的，让我们勇往直前，建立我们自己了解大自然的道路！”

人物事迹链接：

丘成桐：哈佛大学数学与物理教授、清华大学数学科学中心主任、北京雁栖湖应用数学研究院院長、美国科学院院士、中国科学院外籍院士，以及是菲尔兹奖、克拉福德奖、沃尔夫奖、马塞尔·格罗斯曼奖、美国国家科学奖得主；著有《我的几何人生》(译林出版社 2021 )、《哈佛数学史 150 年》(高等教育出版社 2021 ) 、《从万里长城到巨型对撞机》(电子工业出版社 2016 ) 、《大宇之形》(湖南科学技术出版社 2012 )等科普著作；主编的科普期刊有《数理人文》杂志(波士顿国际出版社)和《数学与人文》丛书(高等教育出版社)。

图一：丘成桐教授在旅美科协波士顿2021年会上云端演讲。（温友平摄影）

图二：丘成桐教授的科普著作书影。（主办方供图）